Esta técnica nos permitirá calcular los cuadrados del número 1 al 100. Este es un excelente ejercicio, hay que hacer unos cuantos pasos mentalmente y os aseguro que sorprende como aumenta la velocidad del cálculo a medida que se practica. Veamos en qué consiste.
Estas cosas se entienden mejor con un buen ejemplo, así que vamos al grano:
Vamos a elevar el número 97 al cuadrado.
Es más sencillo hacer una multiplicación por 100 que por 97, así que vamos a seguir estos pasos:
| 1 | 100 – 97 = 3 | Calculamos la diferencia entre el número que calculamos y la decena más cercana , 3 |
| 2 | 97 – 3 = 94 | Nos alejamos 3 unidades de la decena más cercana, restamos el resultado anterior alnúmero que elevamos al cuadrado . |
| 3 | 94 * 100 = 9400 | El resultado anterior lo multiplicamos por ladecena más cercana. |
| 4 | 32 = 9 | Hacemos el cuadrado del resultado del paso 1. |
| 5 | 9400 + 9 = 9409 | Sumamos el resultado anterior al del paso 3. |
972 = 9409
Otros ejemplos
De forma un poco más rápida calculamos 222
| 22 – 20 = 2 | Esta vez hemos puesto en primer lugar el 22 en vez del 20 , no importa, no nos interesa el signo del resultado |
| 22 + 2 = 24 | Nos alejamos 2 unidades de la decena más cercana, sumamos 2 (antes tuvimos que restar para alejarnos). |
| 24 * 20 = 480 | Decena más cercana por resultado anterior |
| 480 + 22 = 484 | Resultado anterior más 22 |
Ahora uno un poco más complicado: 762
| 80 – 76 = 4 | 4 unidades para llegar a la decena más cercana |
| 76 – 4 = 72 | Nos alejamos 4 unidades. |
| 72 * 80 = 5760 | Resultado por decena más cercana. |
| 5760 + 42 = 5776 | Resultado más 42 |
Explicación matemática
Primero desarrollamos un cuadrado normal y corriente con la archiconocida fórmula:
ab = (10 · a) + b
(ab)2 = (10a + b)2 = (10a + b) · (10a + b) = 100a2 +20ab + b2
Hasta aquí estamos todos de acuerdo. Ahora vamos a ver qué pasa si en vez de hacer el cuadrado cojo ese número, le sumo c, le resto c, y multiplico esos 2 resultados. No me miréis así! Es lo que hemos hecho antes: 97 –> (97 + 3) , (97 – 3)
(10a + b + c) * (10a + b – c) = (100a2 + 10ab – 10ac) + (10ab + b2 – bc) + (10ac +bc – c2) = (100a2 + 20ab – b2) – c2
El resultado es el mismo que antes pero restando c2, así que si restamos c2 obtendremos el mismo resultado.
Bueno, esta es la explicación matemática de porqué funciona lo que hemos hecho antes.
Trucos y consejos
A medida que practiquéis os daréis cuenta de algunos “truquillos”. Por ejemplo, las operaciones son más sencillas si nos acercamos a 100 o 50 porque la operación es muy sencilla, de esta forma podríamos aprovechar esto para ir más rápido en el cálculo, por ejemplo si queremos hacer 922 será más fácil si nos acercamos a 100 que a 90, vamos a verlo:
| 100 – 92 = 8 | 8 unidades para llegar a 100 |
| 92 – 8 = 84 | Nos alejamos 8 unidades. |
| 84 * 100 = 8400 | Resultado por 100 . |
| 8400 + 82 = 8464 | Resultado más 82 |
Otro truco que nos permitirá ir más deprisa, es el cuadrado más 1 .
¿Qué pasa si nos piden el cuadrado de 41? Rápidamente podríamos calcular el cuadrado de 40, que es 1600.
412 = (402) + (40*2) + 1 = 1600 + 80 + 1 = 1681
La fórmula conocida por todos es esta:
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1
Debo decir que hay calculistas profesionales a los que este método no les resultará cómodo porque les es más fácil hacer la multiplicación directamente de cabeza sin hacer estos pasos intermedios y prefieren utilizar siempre el mismo método y no perder tiempo en buscar estos atajos que van tan bien para la mayoría de mortales