Cuadrados

Esta técnica nos permitirá calcular los cuadrados del número 1 al 100. Este es un excelente ejercicio, hay que hacer unos cuantos pasos mentalmente y os aseguro que sorprende como aumenta la velocidad del cálculo a medida que se practica. Veamos en qué consiste.

Estas cosas se entienden mejor con un buen ejemplo, así que vamos al grano:

Vamos a elevar el número 97 al cuadrado.

Es más sencillo hacer una multiplicación por 100 que por 97, así que vamos a seguir estos pasos:

Paso
Operación
Explicación
1 100 – 97 3 Calculamos la diferencia entre el número que calculamos y la decena más cercana 3
2 97 – 94 Nos alejamos 3 unidades de la decena más cercana, restamos el resultado anterior alnúmero que elevamos al cuadrado .
3 94 100 9400 El resultado anterior lo multiplicamos por ladecena más cercana.
4 32 = 9 Hacemos el cuadrado del resultado del paso 1.
5 9400 + 9 = 9409 Sumamos el resultado anterior al del paso 3.

972 = 9409

Otros ejemplos

De forma un poco más rápida calculamos 222

22 – 20 2 Esta vez hemos puesto en primer lugar el 22 en vez del 20 , no importa, no nos interesa el signo del resultado
22 24 Nos alejamos unidades de la decena más cercana, sumamos (antes tuvimos que restar para alejarnos).
24 20 480 Decena más cercana por resultado anterior
480 22 = 484 Resultado anterior más 22

Ahora uno un poco más complicado: 762

80 – 76 4 unidades para llegar a la decena más cercana
76 – 72 Nos alejamos unidades.
72 80 5760 Resultado por decena más cercana.
5760 42 = 5776 Resultado más 42

Explicación matemática

Primero desarrollamos un cuadrado normal y corriente con la archiconocida fórmula:

ab = (10 · a) + b

(ab)2 = (10a + b)2 = (10a + b) · (10a + b) = 100a2 +20ab + b2

Hasta aquí estamos todos de acuerdo. Ahora vamos a ver qué pasa si en vez de hacer el cuadrado cojo ese número, le sumo c, le resto c, y multiplico esos 2 resultados. No me miréis así! Es lo que hemos hecho antes: 97 --> (97 + 3) , (97 – 3)

(10a + b + c) * (10a + b – c) = (100a2 + 10ab – 10ac) + (10ab + b2 – bc) + (10ac +bc – c2) = (100a2 + 20ab – b2) – c2

El resultado es el mismo que antes pero restando c2, así que si restamos c2 obtendremos el mismo resultado.

Bueno, esta es la explicación matemática de porqué funciona lo que hemos hecho antes.

Trucos y consejos

A medida que practiquéis os daréis cuenta de algunos “truquillos”. Por ejemplo, las operaciones son más sencillas si nos acercamos a 100 o 50 porque la operación es muy sencilla, de esta forma podríamos aprovechar esto para ir más rápido en el cálculo, por ejemplo si queremos hacer 922 será más fácil si nos acercamos a 100 que a 90, vamos a verlo:

100 – 92 8 unidades para llegar a 100
92 – 84 Nos alejamos unidades.
84 100 8400 Resultado por 100 .
8400 82 = 8464 Resultado más 82

Otro truco que nos permitirá ir más deprisa, es el cuadrado más 1 .

¿Qué pasa si nos piden el cuadrado de 41? Rápidamente podríamos calcular el cuadrado de 40, que es 1600.

412 = (402) + (40*2) + 1 = 1600 + 80 + 1 = 1681

La fórmula conocida por todos es esta:

(x + 1)2 = x2 + 2x + 1

Debo decir que hay calculistas profesionales a los que este método no les resultará cómodo porque les es más fácil hacer la multiplicación directamente de cabeza sin hacer estos pasos intermedios y prefieren utilizar siempre el mismo método y no perder tiempo en buscar estos atajos que van tan bien para la mayoría de mortales